专升本数学严选800题（基础部分）

难度：一般 | 第一章：函数、极限与连续 | 填空题 1-37

填空题（第1-37题）

1. $y = \dfrac{1}{\sqrt{9-x^2}}$ 的定义域：__________。
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   答案：$(-3, 3)$

   解析：要使函数有意义，需满足 $9-x^2 > 0$。

   即 $x^2 < 9$，解得 $-3 < x < 3$。
2. $y = \arcsin(x-3) + \ln(x-2)$ 的定义域：__________。
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   答案：$(2, 4]$

   解析：1. 反正弦函数要求 $-1 \leq x-3 \leq 1$，即 $2 \leq x \leq 4$。

   2. 对数函数要求 $x-2 > 0$，即 $x > 2$。

   取交集得 $2 < x \leq 4$。
3. 设 $f(x)$ 的定义域为 $(-1, 2]$，则 $f(x-1)$ 的定义域：__________。
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   答案：$(0, 3]$

   解析：由 $-1 < x-1 \leq 2$，解得 $0 < x \leq 3$。
4. 设 $f(1-3x)$ 的定义域为 $(-1, 3]$，则 $f(x-3)$ 的定义域：__________。
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   答案：$[-5, 13)$

   解析：1. 由 $-1 < x \leq 3$，得 $-3 \leq 1-3x < 7$，即 $f(x)$ 定义域为 $[-3, 7)$。

   2. 由 $-3 \leq x-3 < 7$，解得 $0 \leq x < 10$。更正：由 $-3 \leq x-3 < 7$ 应为 $-3 \leq x-3 < 7$，即 $0 \leq x < 10$。

   重新计算：$f(1-3x)$ 定义域 $(-1,3]$ 意味着 $-1 < x \leq 3$，则 $1-3x$ 的范围是 $[1-9, 1+3) = [-8, 4)$。

   所以 $f(x)$ 定义域为 $[-8, 4)$，则 $f(x-3)$ 要求 $-8 \leq x-3 < 4$，即 $-5 \leq x < 7$。

   答案应为 $[-5, 7)$。
5. 已知 $f\left(1-\dfrac{1}{x}\right) = \dfrac{x}{1-3x}$，则 $f(x) = $ __________。
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   答案：$\dfrac{1-x}{3x-1}$ 或 $\dfrac{x-1}{1-3x}$

   解析：令 $t = 1-\dfrac{1}{x} = \dfrac{x-1}{x}$，则 $tx = x-1$，得 $x = \dfrac{1}{1-t}$。

   代入得 $f(t) = \dfrac{\frac{1}{1-t}}{1-\frac{3}{1-t}} = \dfrac{\frac{1}{1-t}}{\frac{1-t-3}{1-t}} = \dfrac{1}{-2-t} = -\dfrac{1}{t+2}$。

   验证：$f(1-\frac{1}{x}) = -\dfrac{1}{1-\frac{1}{x}+2} = -\dfrac{x}{3x-1} = \dfrac{x}{1-3x}$ ✓

   所以 $f(x) = -\dfrac{1}{x+2}$。
6. 设 $f(\cos x) = 1 - 2\sin^2 x$，则 $f(x) = $ __________。
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   答案：$2x^2 - 1$

   解析：利用恒等式 $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$。

   $f(\cos x) = 1 - 2(1-\cos^2 x) = 1 - 2 + 2\cos^2 x = 2\cos^2 x - 1$。

   所以 $f(x) = 2x^2 - 1$。
7. $y = \sqrt[3]{x+2}$ 的反函数为 __________。
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   答案：$y = x^3 - 2$

   解析：由 $y = \sqrt[3]{x+2}$，得 $y^3 = x+2$。

   解得 $x = y^3 - 2$，所以反函数为 $y = x^3 - 2$。
8. $y = 3\sin 4x$ 的反函数为 __________。
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   答案：$y = \dfrac{1}{4}\arcsin\dfrac{x}{3}$（定义域 $[-3,3]$）

   解析：由 $y = 3\sin 4x$，得 $\sin 4x = \dfrac{y}{3}$。

   所以 $4x = \arcsin\dfrac{y}{3}$，即 $x = \dfrac{1}{4}\arcsin\dfrac{y}{3}$。

   反函数为 $y = \dfrac{1}{4}\arcsin\dfrac{x}{3}$，定义域 $x \in [-3, 3]$。
9. 设 $f(x) = 1+x^2$，$g(x) = \sin x$，则 $f[g(x)] = $ __________。
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   答案：$1 + \sin^2 x$

   解析：$f[g(x)] = f(\sin x) = 1 + (\sin x)^2 = 1 + \sin^2 x$。
10. 分解函数 $y = \sin^2(2x+1)$：__________。
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    答案：$y = u^2$，$u = \sin v$，$v = 2x+1$

    解析：由外到内分解：最外层平方，中间正弦，最内层一次函数。

    设 $v = 2x+1$，$u = \sin v$，则 $y = u^2$。
11. $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{x^2-x-6}{x^2-2x-3} = $ __________。
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    答案：$2$

    解析：直接代入 $x=0$：$\dfrac{0-0-6}{0-0-3} = \dfrac{-6}{-3} = 2$。
12. $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^2+x+1}{3x^2+2x+1} = $ __________。
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    答案：$\dfrac{2}{3}$

    解析：分子分母同除以 $x^2$。

    原式 $= \displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{3+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}} = \dfrac{2+0+0}{3+0+0} = \dfrac{2}{3}$。
13. $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\pi^x}{\pi^x - e^x} = $ __________。
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    答案：$1$

    解析：分子分母同除以 $\pi^x$。

    原式 $= \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{1-(e/\pi)^x} = \dfrac{1}{1-0} = 1$（因为 $e < \pi$，所以 $(e/\pi)^x \to 0$）。
14. $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{2\tan 3x}{3\sin 2x} = $ __________。
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    答案：$1$

    解析：利用等价无穷小：$\tan 3x \sim 3x$，$\sin 2x \sim 2x$（当 $x \to 0$）。

    原式 $= \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{2 \cdot 3x}{3 \cdot 2x} = \dfrac{6x}{6x} = 1$。
15. $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos 2x}{x\sin x} = $ __________。
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    答案：$2$

    解析：利用 $1-\cos 2x = 2\sin^2 x$。

    原式 $= \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{2\sin^2 x}{x\sin x} = \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{2\sin x}{x} = 2 \cdot 1 = 2$。
16. $\displaystyle\lim_{n \to \infty} 3^n \tan \dfrac{2}{3^n} = $ __________。
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    答案：$2$

    解析：令 $t = \dfrac{2}{3^n}$，则当 $n \to \infty$ 时，$t \to 0$，且 $3^n = \dfrac{2}{t}$。

    原式 $= \displaystyle\lim_{t \to 0} \dfrac{2}{t} \cdot \tan t = 2\displaystyle\lim_{t \to 0} \dfrac{\tan t}{t} = 2 \cdot 1 = 2$。
17. $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1-\sqrt{1-3x^2}}{2x^2} = $ __________。
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    答案：$\dfrac{3}{4}$

    解析：有理化分子：乘以 $\dfrac{1+\sqrt{1-3x^2}}{1+\sqrt{1-3x^2}}$。

    分子 $= 1-(1-3x^2) = 3x^2$。

    原式 $= \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{3x^2}{2x^2(1+\sqrt{1-3x^2})} = \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{3}{2(1+\sqrt{1-3x^2})} = \dfrac{3}{2(1+1)} = \dfrac{3}{4}$。
18. $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x - x}{x^2\ln(1-x)} = $ __________。
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    答案：$\dfrac{1}{6}$

    解析：利用泰勒展开：$\sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + o(x^3)$，$\ln(1-x) = -x - \dfrac{x^2}{2} + o(x^2) \sim -x$。

    分子 $\sin x - x \sim -\dfrac{x^3}{6}$，分母 $x^2\ln(1-x) \sim x^2(-x) = -x^3$。

    原式 $= \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{-\frac{x^3}{6}}{-x^3} = \dfrac{1}{6}$。
19. $\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{x^5-1}{x^4-1} = $ __________。
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    答案：$\dfrac{5}{4}$

    解析：利用因式分解：$x^n-1 = (x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+1)$。

    $\dfrac{x^5-1}{x^4-1} = \dfrac{(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)}{(x-1)(x^3+x^2+x+1)} = \dfrac{x^4+x^3+x^2+x+1}{x^3+x^2+x+1}$。

    代入 $x=1$：$\dfrac{5}{4}$。
20. $\displaystyle\lim_{x \to \pi} \dfrac{\sin 3x}{\tan 5x} = $ __________。
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    答案：$-\dfrac{3}{5}$

    解析：令 $t = x - \pi$，则当 $x \to \pi$ 时，$t \to 0$。

    $\sin 3x = \sin(3\pi+3t) = -\sin 3t \sim -3t$。

    $\tan 5x = \tan(5\pi+5t) = \tan 5t \sim 5t$。

    原式 $= \displaystyle\lim_{t \to 0} \dfrac{-3t}{5t} = -\dfrac{3}{5}$。
21. $\displaystyle\lim_{x \to 0} (1+2x)^{\frac{1}{3x}} = $ __________。
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    答案：$e^{\frac{2}{3}}$

    解析：利用重要极限 $\displaystyle\lim_{u \to 0} (1+u)^{\frac{1}{u}} = e$。

    原式 $= \displaystyle\lim_{x \to 0} \left[(1+2x)^{\frac{1}{2x}}\right]^{\frac{2x}{3x}} = e^{\frac{2}{3}}$。
22. $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(\dfrac{x+4}{x+5}\right)^{\frac{x-1}{3}} = $ __________。
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    答案：$e^{-\frac{1}{3}}$

    解析：$\dfrac{x+4}{x+5} = 1 - \dfrac{1}{x+5}$。

    原式 $= \displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(1 - \dfrac{1}{x+5}\right)^{\frac{x-1}{3}} = \displaystyle\lim_{x \to \infty} \left[\left(1 - \dfrac{1}{x+5}\right)^{-(x+5)}\right]^{-\frac{x-1}{3(x+5)}}$。

    指数部分：$\displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{x-1}{3(x+5)} = \dfrac{1}{3}$，所以结果为 $e^{-\frac{1}{3}}$。
23. 已知极限 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(1+\dfrac{5}{n}\right)^{nk} = e^{-5}$，则 $k = $ __________。
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    答案：$-1$

    解析：左边 $= \displaystyle\lim_{n \to \infty} \left[\left(1+\dfrac{5}{n}\right)^{\frac{n}{5}}\right]^{5k} = e^{5k}$。

    由 $e^{5k} = e^{-5}$，得 $5k = -5$，所以 $k = -1$。
24. $\displaystyle\lim_{x \to 0} (1+2\sin x^2)^{\frac{1}{1-\cos x}} = $ __________。
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    答案：$e^4$

    解析：当 $x \to 0$ 时，$\sin x^2 \sim x^2$，$1-\cos x \sim \dfrac{x^2}{2}$。

    指数部分：$\dfrac{2\sin x^2}{1-\cos x} \sim \dfrac{2x^2}{\frac{x^2}{2}} = 4$。

    原式 $= e^4$。
25. $\displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{x^3-3x^2+4}{x^2-4x+4} = $ __________。
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    答案：$\infty$（或不存在）

    解析：分母 $= (x-2)^2$，分子 $= x^3-3x^2+4$。

    当 $x=2$ 时，分子 $= 8-12+4 = 0$，所以是 $\dfrac{0}{0}$ 型。

    分解分子：$x^3-3x^2+4 = (x-2)(x^2-x-2) = (x-2)(x-2)(x+1) = (x-2)^2(x+1)$。

    原式 $= \displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{(x-2)^2(x+1)}{(x-2)^2} = \displaystyle\lim_{x \to 2} (x+1) = 3$。

    答案应为 $3$。
26. $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{-x}-e^x}{\sin 2x} = $ __________。
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    答案：$-1$

    解析：分子 $= e^{-x}-e^x = \dfrac{1-e^{2x}}{e^x}$。

    当 $x \to 0$ 时，$e^{2x}-1 \sim 2x$，$\sin 2x \sim 2x$，$e^x \to 1$。

    原式 $= \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{-(e^{2x}-1)}{e^x \sin 2x} = \dfrac{-2x}{1 \cdot 2x} = -1$。
27. $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x\ln x = $ __________。
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    答案：$0$

    解析：$\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x\ln x = \displaystyle\lim_{x \to 0^+} \dfrac{\ln x}{\frac{1}{x}}$（$\dfrac{\infty}{\infty}$ 型，洛必达）。

    $= \displaystyle\lim_{x \to 0^+} \dfrac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \displaystyle\lim_{x \to 0^+} (-x) = 0$。
28. $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x^{\sin x} = $ __________。
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    答案：$1$

    解析：设 $y = x^{\sin x}$，则 $\ln y = \sin x \cdot \ln x$。

    $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \sin x \cdot \ln x = \displaystyle\lim_{x \to 0^+} x\ln x = 0$（因为 $\sin x \sim x$）。

    所以原极限 $= e^0 = 1$。
29. $\displaystyle\lim_{x \to 0} \left(x^{-2} - \dfrac{\sin x}{x^3}\right) = $ __________。
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    答案：$\dfrac{1}{6}$

    解析：通分：$\dfrac{x - \sin x}{x^3}$。

    利用泰勒展开：$\sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + o(x^3)$。

    分子 $= x - (x - \dfrac{x^3}{6} + o(x^3)) = \dfrac{x^3}{6} + o(x^3)$。

    原式 $= \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\frac{x^3}{6}}{x^3} = \dfrac{1}{6}$。
30. 若极限 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{a+e^x-2}{x-x^2}$ 存在，则 $a = $ __________。
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    答案：$1$

    解析：当 $x \to 0$ 时，分母 $x-x^2 \to 0$。

    要使极限存在，分子也必须趋于 0，即 $a + e^0 - 2 = 0$。

    所以 $a + 1 - 2 = 0$，得 $a = 1$。
31. 当 $x \to 0$ 时，$\sqrt{1-ax^2}-1$ 与 $x\sin x$ 是等价无穷小，则 $a = $ __________。
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    答案：$-2$

    解析：利用等价无穷小：$\sqrt{1-ax^2}-1 \sim -\dfrac{ax^2}{2}$，$x\sin x \sim x^2$。

    由等价无穷小定义：$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1-ax^2}-1}{x\sin x} = 1$。

    即 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{-\frac{ax^2}{2}}{x^2} = -\dfrac{a}{2} = 1$，所以 $a = -2$。
32. 当 $x \to 0$ 时，$2x\arcsin x^2$ 与 $x\sin x^{n+1}$ 是同阶无穷小，则 $n = $ __________。
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    答案：$2$

    解析：当 $x \to 0$ 时，$\arcsin x^2 \sim x^2$，$\sin x^{n+1} \sim x^{n+1}$。

    所以 $2x\arcsin x^2 \sim 2x \cdot x^2 = 2x^3$。

    而 $x\sin x^{n+1} \sim x \cdot x^{n+1} = x^{n+2}$。

    同阶无穷小要求次数相同：$3 = n+2$，所以 $n = 1$。

    更正：$2x\arcsin x^2$ 中 $\arcsin x^2 \sim x^2$，所以整体为 $2x^3$。

    $x\sin x^{n+1} \sim x^{n+2}$，令 $n+2=3$，得 $n=1$。
33. 设 $f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin kx}{x}, & x > 0, \\ \cos x + 1, & x \leq 0, \end{cases}$ 且 $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$ 存在，则 $k = $ __________。
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    答案：$2$

    解析：右极限：$\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \dfrac{\sin kx}{x} = k$。

    左极限：$\displaystyle\lim_{x \to 0^-} (\cos x + 1) = 1 + 1 = 2$。

    极限存在要求左右极限相等：$k = 2$。
34. 设 $f(x) = \dfrac{|x|}{x}$，则 $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$ __________（存在还是不存在）。
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    答案：不存在

    解析：右极限：$\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \dfrac{|x|}{x} = \displaystyle\lim_{x \to 0^+} \dfrac{x}{x} = 1$。

    左极限：$\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \dfrac{|x|}{x} = \displaystyle\lim_{x \to 0^-} \dfrac{-x}{x} = -1$。

    左右极限不相等，故极限不存在。
35. 极限 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{\frac{1}{x}}+2}{e^{\frac{1}{x}}-2}$ __________（存在还是不存在）。
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    答案：不存在

    解析：当 $x \to 0^+$ 时，$\dfrac{1}{x} \to +\infty$，$e^{\frac{1}{x}} \to +\infty$。

    右极限 $= \displaystyle\lim_{\frac{1}{x} \to +\infty} \dfrac{e^{\frac{1}{x}}+2}{e^{\frac{1}{x}}-2} = 1$。

    当 $x \to 0^-$ 时，$\dfrac{1}{x} \to -\infty$，$e^{\frac{1}{x}} \to 0$。

    左极限 $= \dfrac{0+2}{0-2} = -1$。

    左右极限不相等，故极限不存在。
36. 极限 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \arctan\dfrac{1}{x}$ __________（存在还是不存在）。
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    答案：不存在

    解析：当 $x \to 0^+$ 时，$\dfrac{1}{x} \to +\infty$，$\arctan\dfrac{1}{x} \to \dfrac{\pi}{2}$。

    当 $x \to 0^-$ 时，$\dfrac{1}{x} \to -\infty$，$\arctan\dfrac{1}{x} \to -\dfrac{\pi}{2}$。

    左右极限不相等，故极限不存在。
37. $f(x) = \begin{cases} e^x-1, & x \leq 0, \\ x^2\sin\dfrac{1}{x}, & x > 0 \end{cases}$ 在 $x=0$ 处 __________（连续还是间断）。
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    答案：连续

    解析：$f(0) = e^0 - 1 = 0$。

    左极限：$\displaystyle\lim_{x \to 0^-} (e^x-1) = 1-1 = 0$。

    右极限：$\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x^2\sin\dfrac{1}{x} = 0$（有界函数乘以无穷小）。

    $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0)$，故连续。